В соответствии с п. 6 Приложения к приказу Министерства здравоохранения Российской Федерации
от 30 мая 2023 года № 266н: Предсменные, предрейсовые, послесменные, послерейсовые медицинские осмотры, медицинские осмотры в течение рабочего дня (смены) проводятся медицинскими работниками, имеющими высшее и (или) среднее профессиональное медицинское образование, медицинской организации или иной организации, осуществляющей медицинскую деятельность, в том числе медицинским работником состоящим в штате работодателя (далее соответственно - медицинский работник, медицинская организация), при наличии лицензии на осуществление медицинской деятельности, предусматривающей выполнение работ (услуг) по медицинским осмотрам (предсменным, предрейсовым, послесменным, послерейсовым).
Соответственно Вы не можете проводить МО, если у Вас кончено нет медицинского образования.
По поводу ответственности, то тут вы укажите своему работодателю, что он может быть привлечен к ответственности. Вы как СОТ имеете право также указать, что допуск к управлению ТС не возможен, так как водитель не прошел предсменный МО.