Я чего-то запуталась в ваших организациях.
Если и в 1 и во 2 есть работники по трудовым договорам, то в каждой из этих организация вводный, первичный, обучение проводятся для своих работников.
Если вы числитесь СОТом в штате обеих организаций, то вы и проводите вводный и во одной и во второй. Первичный проводят руководители подразделений (каждый в совем), если нет руководителя подразделения, то обязанность проведения инструктажа можно возложить на директора. Обучение каждая организация проводит только для сових сотрудников.
Таким образом у вас все документы (ЛНА, журналы инструктажей, протоколы и т.д.) должны быть как в одной так и в другой организации. Это два разных юридических лица, со своими данными, несмотря на то, что хозяин один.
Это как с близнецами - да они из одной яйцеклетки, но это два самостоятельных организма, и вы не будете же покупать им одежду в одном экземпляре 😆