Ваш случай, это ситуация всех 98% (проценты сам выдумываю) организаций, которые первый раз в жизни кого-то запрягли выполнять функции спеца по ОТ или взяли нового пассажира с одноимённой должностью.
Писать текущей датой - это признак очень дурного тона для толькозаступившего спеца по ОТ и в меньшей степени для старозаступившего работника, на кого это повесили, особенно если ему за это не доплачивают.
Вы можете налепить кучу совершенно никому не нужных актов и ходить с видом "че там до меня было - не волнует", но если вам нравится организация и вы с руководителями в хороших отношениях, то будете уверены: они подпортятся на 40% (проценты сам выдумываю). Сразу же. Даже если они не подадут вида. Зато тащ майор, который вечно сидит на форуме, будет вами доволен, как честным гражданином (подставляющим свою организацию)
Если дурной тон - это не ваш конёк и радовать тащ майора вы не планируете, то лепите задним числом. Уволенных можете пропустить. Если у вас он в организации не числится, то его смерть вас не волнует. Соответственно его подпись в конкретно ваших документах никому не интересна.
Либо найдите древнюю штатку, выясните кто был и срисуйте подпись с приказа о заступлении на работу, если его не посеяла кадровичка.