Во первых, на медосмотре не имеют права запрашивать такую справку.
У нас такую справку обычно запрашивает СБ, и она бесплатна по месту жительства (если только с работника в псих. диспансере не захотят срубить денег под предлогом того, что это псих освидетельствование).
Во вторых, в случае наличия у врача-психиатра на медосмотре каких либо сомнений, он уже как раз должен направить на псих освидетельствование и указать это в заключении. И вот тут вопрос, должен ли РБТД это оплачивать.
РБТД оплачивает в обязательном порядке псих освидетельствование, если оно предусмотрено для данной категории работников законодательством (например, работники образовательных организаций).
В остальных случаях, когда работнику требуется дополнительное псих освидетельствование по результатам осмотра врача-психиатра на медосмотре, в законодательстве не нашла, но ИМХО, РБТД должен оплатить (хотя, например, дополнительные мед обследования по результатам медосмотров проходятся за счет ОМС).