Заново обучать в УЦ не нужно.
Подтверждением квалификации работников как стропальщиков является документ из УЦ - Свидетельство о присвоении квалификации "Стропальщик".
Удостоверение является документом, подтверждающим прохождение обязательной проверки знаний внутри организации (у работодателя).
Выполнять стропальные работы обученный В УЦ работник может в любой организации (сейчас речь только о трудовых отношениях) при условии что эта организация (работодатель) проводит ему проверку знаний (опять же, самостоятельно, своей комиссией, или через учебный центр). Даже если обучение в УЦ ему оплачивал другой работодатель.
Так что, принимайте на работу, проводите проверку знаний с оформлением протокола и внесением данных о проверке знаний в удостоверение. Плюс нужно оформить РД на допуск к выполнению стропальных работ (или работы в качестве стропальщика) на Вашей площадке (территории).